SonJJU

  • 감마 분포의 m.g.f를 구해본다.
  • mean과 variance를 구해본다.

$X \sim Gamma(\alpha,\beta)$

$f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} x^{\alpha -1} e^{- x/\beta},~ x \geq 0 $

이제 m.g.f의 정의를 이용하면

$M(t)=E(e^{tx})= \int^{\infty}_{0} e^{tx} \frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} x^{\alpha -1 } e^{-x/\beta}dx$

$Let~ (\frac{1}{\beta}-t)x=y$

$=\frac{ (\frac{1}{\beta}-t)^{-\alpha} }{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} \int y^{\alpha-1} e^{-y}dy, ~\frac{1}{\beta} -t >0$

$=(1-\beta t)^{-\alpha},~t<\frac{1}{\beta}$

이렇게 m.g.f를 구했다. $M'(0)과 M''(0)$를 이용하여 mean과 variance를 직접 구해보자. 이 포스팅에서는 기댓값의 정의를 이용해 mean과 variance를 구해본다.

$E(X)= \int^{\infty}_{0} \frac{x}{\Gamma(\alpha) \beta ^\alpha}x^{\alpha -1} e^{-\frac{x}{\beta}} dx$

$Let~\frac{x}{\beta}=y$

$=\frac{\beta}{\Gamma(\alpha)} \int^{\infty}_{0} y^\alpha e^{-y} dy=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)}\beta= \alpha \beta$

$E(X^2)= \int^{\infty}_{0} \frac{x^2}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\frac{x}{\beta}}dx=\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\Gamma(\alpha)} \beta = \alpha(\alpha+1)\beta$

$Variance=E(X^2)-E(X)^2 = \alpha \beta^2$


여러 분포들이 나오면서 분포의 m.g.f와 mean, variance를 구하는 것이 많이 어려워졌다.

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SonJJU - 손주형

Data Scientist, SonJJU

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